Teknik Integral Parsial

Untuk Teknik Integral Parsial secara langsung melibatkan bentuk "turunan" dan "integral". Teknik Integral Parsial ini kita gunakan jika "teknik integral substitusi aljabar" secara langsung tidak berhasil untuk menyelesaikan soal integralnya.

Aturan Integral Parsial

Adapun aturan Integral Parsial yaitu :

\int u d v = u v - \int v d u

Pada rumus tersebut, integral yang diberikan harus dipisah menjadi dua bagian, yaitu satu bagian adalah fungsi

(u)

dan bagian lain (fungsi yang mengandung

d x

) adalah

d v

. Oleh karena itu, rumus tersebut sering disebut integral bagian atau integral parsial.

Strategi Pemilihan fungsi

u

dan bentuk

d v

:
Untuk memudahkan dalam menggunakan integral parsial ini, kita pilih fungsi

u

yang diturunkannya akan menuju nol dan bentuk

d v

yang mudah kita integralkan.

Contoh soal integral parsial :
1). Tentukan hasil dari integral

\int x \sqrt{x + 2} d x

.

Penyelesaian :
*). Ada dua fungsi yaitu

x

dan

\sqrt{x + 2}

.
kita pilih

u = x

, karena jika kita turunkan akan menuju nol hasilnya.
beda dengan fungsi

\sqrt{x + 2}

, jika diturnkan tidak akan menuju nol.
Sehingga sisanya adalah

d v = \sqrt{x + 2} d x

.
*). Melengkapi rumus integral parsialnya :

u = x \to \frac{d u}{d x} = 1 \to d u = d x

d v = \sqrt{x + 2} d x

, maka integralkan kedua ruas untuk menentukan

v

:
Berdasarkan rumus :

\int k (a x + b)^{n} d x = \frac{k}{a} \frac{1}{n + 1} (a x + b)^{n + 1} + c

\begin{aligned} d v = \sqrt{x + 2} d x \to \int d v & = \int \sqrt{x + 2} d x \\ v & = \int \sqrt{x + 2} d x \\ = \int (x + 2)^{\frac{1}{2}} d x \\ = \frac{1}{\frac{1}{2} + 1} (x + 2)^{\frac{1}{2} + 1} \\ = \frac{1}{\frac{3}{2}} (x + 2)^{\frac{3}{2}} \\ = \frac{2}{3} (x + 2)^{\frac{3}{2}} \end{aligned}

*). Menentukan hasilnya :

\begin{aligned} \int u d v & = u v - \int v d u \\ \int u d v & = x . \frac{2}{3} (x + 2)^{\frac{3}{2}} - \int \frac{2}{3} (x + 2)^{\frac{3}{2}} d x \\ = \frac{2}{3} x (x + 2)^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \int (x + 2)^{\frac{3}{2}} d x \\ = \frac{2}{3} x (x + 2)^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} . \frac{1}{\frac{3}{2} + 1} (x + 2)^{\frac{3}{2} + 1} + c \\ = \frac{2}{3} x (x + 2)^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} . \frac{1}{\frac{5}{2}} (x + 2)^{\frac{5}{2}} + c \\ = \frac{2}{3} x (x + 2)^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} . \frac{2}{5} (x + 2)^{\frac{5}{2}} + c \\ = \frac{2}{3} x (x + 2)^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{15} (x + 2)^{\frac{5}{2}} + c \end{aligned}

Jadi, hasilnya

\int x \sqrt{x + 2} d x = \frac{2}{3} x (x + 2)^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{15} (x + 2)^{\frac{5}{2}} + c

2). Hasil dari integral

\int x^{2} \cos 2 x d x

adalah ?

Penyelesaian :
*). Ada dua fungsi yaitu

x^{2}

dan

\cos 2 x

,
Kita pilih

u = x^{2}

karena turunannya menuju nol.
*). Melengkapi rumusnya :

u = x^{2} \to \frac{d u}{d x} = 2 x \to d u = 2 x d x

d v = \cos 2 x d x

, maka integralkan kedua ruas untuk menentukan

v

\begin{aligned} d v = \cos 2 x d x \to \int d v & = \int \cos 2 x d x \\ v & = \frac{1}{2} \sin 2 x \end{aligned}

*). Menentukan hasilnya :

\begin{aligned} \int u d v & = u v - \int v d u \\ \int u d v & = x^{2} . \frac{1}{2} \sin 2 x - \int \frac{1}{2} \sin 2 x . 2 x d x \\ \int u d v & = \frac{1}{2} x^{2} \sin 2 x - \int x \sin 2 x d x ...pers(i) \end{aligned}

*). Bentuk

\int x \sin 2 x d x

kita parsialkan lagi.
*). Ada dua fungsi yaitu

x

dan

\sin 2 x

,
Kita pilih

u = x

karena turunannya menuju nol.
*). Melengkapi rumusnya :

u = x \to \frac{d u}{d x} = 1 \to d u = d x

d v = \sin 2 x d x

, maka integralkan kedua ruas untuk menentukan

v

\begin{aligned} d v = \sin 2 x d x \to \int d v & = \int \sin 2 x d x \\ v & = - \frac{1}{2} \cos 2 x \end{aligned}

*). Menentukan hasilnya :

\int x \sin 2 x d x

\begin{aligned} \int x \sin 2 x d x & = u v - \int v d u \\ = x . (- \frac{1}{2} \cos 2 x - \int (- \frac{1}{2} \cos 2 x) d x \\ = - \frac{1}{2} x \cos 2 x + \int (\frac{1}{2} \cos 2 x) d x \\ = - \frac{1}{2} x \cos 2 x + \frac{1}{2} . \frac{1}{2} \sin 2 x \\ = - \frac{1}{2} x \cos 2 x + \frac{1}{4} \sin 2 x \end{aligned}

Artinya hasil :

\int x \sin 2 x d x = - \frac{1}{2} x \cos 2 x + \frac{1}{4} \sin 2 x

*). Kita substitusikan ke pers (i) :

\begin{aligned} \int u d v & = \frac{1}{2} x^{2} \sin 2 x - \int x \sin 2 x d x \\ = \frac{1}{2} x^{2} \sin 2 x - (- \frac{1}{2} x \cos 2 x + \frac{1}{4} \sin 2 x) \\ = \frac{1}{2} x^{2} \sin 2 x + \frac{1}{2} x \cos 2 x - \frac{1}{4} \sin 2 x + c \\ = (\frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{4}) \sin 2 x + \frac{1}{2} x \cos 2 x + c \end{aligned}

Jadi, hasilnya

\int x^{2} \cos 2 x d x = (\frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{4}) \sin 2 x + \frac{1}{2} x \cos 2 x + c

.

Untuk soal nomor (2) ini agak lebih panjang pengerjaannya karena kita melakukan integral parsial sebanyak dua kali.

MATEMATIKA TURUNAN DAN INTEGRAL

Teknik Integral Parsial

Posting Komentar