Aturan Integral Substitusi dan Contoh Soal

Aturan Integral Substitusi

Aturan integral substitusi seperti yang tertulis di Teorema 5.

Aturan ini digunakan untuk memecahkan masalah pengintegralan yang tidak dapat diselesaikan dengan rumus-rumus dasar yang sudah dipelajari. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut ini.

Contoh Soal Aturan Integral Substitusi:

Hitunglah integral dari:

a. $\int x\sqrt{9-x^{2}}dx$

b. $\int \frac{sin\sqrt{x}}{\sqrt{x}}dx$

c. $\int \frac{x}{(1-2x^{2})}4dx$

Jawab:

a. Misalkan u = 9 - x², maka du = -2x dx

$xdx=\frac{du}{-2}$
$\int x\sqrt{9-x^{2}}dx=\int (9-x^{2})^{1/2}xdx=\int u^{1/2}(\frac{du}{-2})$
$=-\frac{1}{2}u^{1/2}du=-\frac{1}{2}x\frac{2u^{3/2}}{3}+c$
$=-\frac{1}{2}x\sqrt[2]{u^{3}}x\frac{2}{3}+c=-\frac{1}{3}u\sqrt{u}+c$
$=\frac{1}{3}\left ( 9-x^{2} \right )\sqrt{9-x^{2}}+c$
Jadi, $\int x\sqrt{9-x^{2}}dx=-\frac{1}{3}\left ( 9-x^{2} \right )\sqrt{9-x^{2}}+c$

b. Misalkan, u = $\sqrt{x}=x^{1/2}$
$\frac{du}{dx}=\frac{1}{2}x^{1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$
dx = 2 $\sqrt{x}$ du, sehingga
$\int \frac{sin\sqrt{x}}{\sqrt{x}}dx=\int \frac{sinu}{\sqrt{x}}du$
= 2 $\int$ sin u du
= -2 cos u + c
= -2 cos $\sqrt{x}$ +c

c. Misalkan u = 1 - 2x², maka du = -4x dx
$dx=\frac{du}{-4x}$
sehingga integral tersebut dapat ditulis sebagai berikut.
$\int \frac{x}{1-2x^{2}}dx=\int \frac{x}{u^{4}}.\frac{du}{\left ( -4x \right )}$ Teorema 5
= – $\frac{1}{4\int u^{-4}}du$
= $\left ( -\frac{1}{4} \right )\left ( -\frac{1}{3} \right )u^{-3}+c$
= $\frac{1}{12}u^{-3}+c$
Substitusi u = 1 - 2x² ke persamaan 12 $u^{-3}$ + c
$\int \frac{x}{\left ( 1-2x^{3} \right )^{4}}dx=\frac{1}{12}u^{-3}$ + c
= $\frac{1}{12}$ (1 2x² )^-3+ c
Jadi, $\int \frac{x}{\left ( 1-2x^{2} \right )^{4}}dx=\frac{1}{12}\left ( 1-2x^{2} \right )^{-3}+c=\frac{1}{12\left ( 1-2x^{2} \right )^{3}}+c$

Tips Menyelesaikan Soal dengan Aturan Integral Substitusi

Penyelesaian soal-soal Integral menggunakan sistem Integral Substitusi biasa digunakan untuk menyelesaikan permasalahan integral yang memuat pangkat tinggi dari suatu suku aljabar. Biasanya kita akan memisalkan suku aljabar tersebut dengan u kemudian merubah bentuk aljabar tersebut dalam u dan seterusnya. Cara seperti ini memakan waktu yang cukup lama, kali ini admin sajikan cara cepat menyelesaikan permasalahan integral substitusi tanpa permisalan, sehingga lebih singkat dan sederhana. Perhatikan contoh berikut:

Contoh :

1. ∫ (2x + 5)⁶ dx = ….

Penyelesaian :

Turunan dari 2x + 5 = 2

sehingga:
$\int \left ( 2x+5 \right )^{6}dx=\frac{1}{2}.\frac{1}{6+2}\left ( 2x+5 \right )^{7}+c=\frac{1}{14}\left ( 2x+5 \right )^{7}+c$

2. ∫ 3x (4x² – 3)⁷ dx = ….

Penyelesaian :

Turunan dari 4x² – 3 = 8x, ambil koefisien variabel x dari turunan yaitu 8 sebagai pembagi dan x diluar kurung di abaikan.

sehingga :

$\int 3x\left ( 4x^{2}-3 \right )^{7}dx=\frac{3}{8}.\frac{1}{7+1}\left ( 4x^{2}-3 \right )^{8}+c=\frac{3}{64}\left ( 4x^{2}-3 \right )^{8}+c$

3. ∫(x – 2) (4x² – 16x + 7)⁷ dx = … .

Penyelesaian :

Turunan dari 4x² – 16x + 7 = 8x – 16 = 8(x – 2) ambil koefisien dari (x – 2) yaitu 8 sebagai pembagi sedangkan ( x – 2 ) diabaikan.

sehingga :

MATEMATIKA TURUNAN DAN INTEGRAL

Aturan Integral Substitusi dan Contoh Soal

2 komentar