Aturan Rantai untuk Mencari Turunan Fungsi

Misalnya untuk mencari turunan dari y = (4x–6)², lebih dahulu harus  menjabarkan  (4x–6)² menjadi 14x²–48x+36 kemudian menurunkannya satu persatu dengan menggunakan cara menegerjakan turunan fungsi yang berbentuk y = u ± v. Mencari turunan dari y = (4x–6)² dapat dikerjakan dengan menggunakan cara menegerjakan turunan fungsi yang berbentuk y = uⁿ. Tetapi kamu belum bisa mencari turunan fungsi yang berbentuk y = √(2 + x²) atau y = (3x + 7)^99/4 dengan cara menjabarkannya terlebih dahulu. Misalkan ada contoh soal seperti ini carilah dy/dz dari persamaan y =  (4x–6)² dan x = z² + 4. Bagaimana cara mengerjakan soal seperti itu?

Untuk mengerjakan soal mencari dy/dz perlu dikembangkan teknik yang erat hubungannya dengan fungsi-fungsi majemuk yang telah kita pelajari sebelumnya. Jadi, anda harus memahami konsep-konsep sebelumnya. Untuk lebih jelasnya, pelajarilah uraian berikut.

Jika y = f ◦ g sedemikian hingga y = f(g(x)) di mana f dan g adalah fungsi-fungsi yang mempunyai turunan, maka y juga mempunyai turunan sehingga:

Dalam bentuk lain dapat diuraikan sebagai berikut.

Misalnya:

z = g(x), è g'(x) = dz/dx dan f ′. (g(x)) = f ′(z) = dy/dz

sehingga y' = f ′(g(x)) ⋅ g'(x)

dy/dx = dy/dz ⋅ dz/dx

Jadi:

Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh soal berikut ini.

Contoh soal 1

Tentukan turunan pertama dari y = (4x³ + 5x²–x+4)¹²

Penyelesaian:

Misal:

z = 4x³ + 5x²–x+4 
dz/dx = 12x² + 10x - 1

y = z¹² 
dy/dz = 12z¹¹

y' = (dy/dz).(dz/dx)

 y' = 12z¹¹⋅(12x² + 10x - 1)

y' = 12(4x³ + 5x²–x+4)¹¹(12x² + 10x - 1)

y' = 12(12x² + 10x - 1)( 4x³ + 5x²–x+4)¹¹

Contoh soal 2

Carilah dy/dz dari persamaan y = 4x⁴ – 6 dan x = z² + 4.

Penyelesaian:

y = 4x⁴ – 6 
dy/dx = 16x³

x = z² + 4 
dx/dz = 2z

dy/dz = (dy/dx).(dx/dz)

dy/dz = (16x³).( 2z)

dy/dz = 32x³z